वेळ व अंतर (Time and Distance)
वेळ, वेग आणि अंतर हा गणितातील अत्यंत महत्त्वाचा विषय असून MPSC, UPSC, SSC, Banking, Railway आणि इतर स्पर्धा परीक्षांमध्ये नियमितपणे प्रश्न विचारले जातात.
वेळ व अंतराची संकल्पना
प्रथम अंतर (Distance), वेग (Speed) आणि वेळ (Time) या तीन मूलभूत संकल्पना समजून घेणे आवश्यक आहे.
1. अंतर (Distance)
अंतर म्हणजे एखाद्या वस्तूने केलेला प्रवास.
एकके- मीटर (m)
- किलोमीटर (km)
1 km = 1000 m
2. वेग (Speed)
वेग म्हणजे एका ठराविक वेळेत पार केलेले अंतर.
वेग = अंतर ÷ वेळ
वेगाची एकके- किमी/तास (km/h)
- मीटर/सेकंद (m/s)
3. वेळ (Time)
एखादे अंतर पार करण्यासाठी लागणारा कालावधी म्हणजे वेळ.
- सेकंद
- मिनिट
- तास
वेळ, वेग आणि अंतराची मूलभूत सूत्रे
| सूत्र | अर्थ |
|---|---|
| अंतर = वेग × वेळ | Distance = Speed × Time |
| वेग = अंतर ÷ वेळ | Speed = Distance ÷ Time |
| वेळ = अंतर ÷ वेग | Time = Distance ÷ Speed |
सरासरी वेग (Average Speed)
सरासरी वेग = एकूण अंतर ÷ एकूण वेळ
समान अंतरासाठी सरासरी वेग
जर दोन समान अंतर अनुक्रमे S₁ आणि S₂ वेगाने पार केले असतील,Average Speed = (2S₁S₂)/(S₁+S₂)
वेळ व वेग यांचा संबंध
1.अंतर स्थिर असल्यास
- वेग वाढला → वेळ कमी होते.
- वेग कमी झाला → वेळ वाढते.
- वेग व वेळ व्यस्त प्रमाणात असतात.
60 km/h वर 3 तास लागतात. 120 km/h वर फक्त 1.5 तास लागतील.
2.वेळ स्थिर असल्यास
- वेग वाढला → अंतर वाढते.
- वेग व अंतर समानुपाती असतात.
वेगाचे रूपांतरण
| रूपांतरण | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| km/h → m/s | X km/h = X × 5/18 m/s | 90 km/h = 90 × 5/18 = 25 m/s |
| m/s → km/h | X m/s = X × 18/5 km/h | 20 m/s = 20 × 18/5 = 72 km/h |
सापेक्ष वेग (Relative Speed)
| परिस्थिती | सूत्र |
|---|---|
| दोन वस्तू विरुद्ध दिशेने जात असतील | S₁ + S₂ |
| दोन वस्तू एकाच दिशेने जात असतील | S₂ − S₁ |
ट्रेन संबंधित महत्त्वाची सूत्रे
- खांब(Pole) पार करण्याची वेळ
वेळ = ट्रेनची लांबी ÷ ट्रेनचा वेग - प्लॅटफॉर्म पार करण्याची वेळ
वेळ = (ट्रेनची लांबी + प्लॅटफॉर्मची लांबी) ÷ वेग - दोन ट्रेन विरुद्ध दिशेने
वेळ = दोन्ही ट्रेनच्या लांबींची बेरीज ÷ दोन्ही वेगांची बेरीज - दोन ट्रेन एकाच दिशेने
वेळ = दोन्ही ट्रेनच्या लांबींची बेरीज ÷ वेगातील फरक
बोट व प्रवाह (Boat and Stream)
स्थिर पाण्यातील बोटीचा वेग = Bप्रवाहाचा वेग = S
| सूत्र | अर्थ |
|---|---|
| Downstream = B + S | प्रवाहाच्या दिशेने |
| Upstream = B − S | प्रवाहाच्या विरुद्ध |
| Boat Speed = (D+U)/2 | स्थिर पाण्यातील वेग |
| Stream Speed = (D−U)/2 | प्रवाहाचा वेग |
भेटल्यानंतर लागणारा वेळ (Meeting Problems)
जर दोन व्यक्ती समोरासमोर चालत येऊन भेटल्या आणि भेटल्यानंतर गंतव्यस्थानी पोहोचण्यासाठी अनुक्रमे T₁ आणि T₂ वेळ घेत असतील,
स्पर्धा परीक्षांसाठी महत्त्वाच्या टिप्स
- प्रश्न सोडवण्यापूर्वी वेग एकाच एककात रूपांतरित करा.
- ट्रेनच्या प्रश्नांमध्ये km/h चे m/s मध्ये रूपांतर करा.
- Relative Speed वापरल्यास प्रश्न जलद सुटतात.
- समान अंतरासाठी Average Speed चे सूत्र लक्षात ठेवा.
- Boat & Stream मध्ये Downstream = Boat + Stream आणि Upstream = Boat − Stream.
महत्त्वाची सूत्रे (Quick Revision)
- Distance = Speed × Time
- Speed = Distance ÷ Time
- Time = Distance ÷ Speed
- Average Speed = Total Distance ÷ Total Time
- Relative Speed (Opposite) = S₁ + S₂
- Relative Speed (Same) = S₂ − S₁
- Downstream = Boat + Stream
- Upstream = Boat − Stream
- 1 km = 1000 m
- 1 hour = 3600 seconds
- km/h → m/s = × 5/18
- m/s → km/h = × 18/5
){kind=link}
0 टिप्पण्या